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2002电子科大高等数学竞赛试题与解答
一、选择题（40分，每小题4分，只有一个答案正确）.
1．设 在 （ ）上连续，且为非零偶函数， ，则 （B）.
（A）是偶函数； （B）是奇函数；
（C）是非奇非偶函数； （D）可能是奇函数，也可能是偶函数.
2．设 在 上连续，且 ，则……………………………………（D）.
（A）在 内不一定有 使 ； （B）对于 上的一切 都有 ；
（C）在 的某个小区间上有 ；（D）在 内至少有一点使 .
3．已知当 时， 的导数 与 为等价无穷小，则 ………………………………………………………………………………………（B）.
（A）等于0； （B）等于 ； （C）等于1； （D）不存在.
4．设 是微分方程 的满足 ， 的解，则 ………………………………………………………………………………（B）.
（A）等于0； （B）等于1； （C）等于2； （D）不存在.
5．设直线L： ，平面 ： ，则它们的位置关系是 （C）.
（A） ； （B）L在 上； （C） ； （D）L与 斜交.
6．设在全平面上有 ， ，则保证不等式 成立的条件是………………………………………………………………………………（A）.
（A） ， ； （B） ， ；
（C） ， ； （D） ， .
7．设S为八面体 全表面上半部分的上侧，则不正确的是………（D）.
（A） ；（B） ；（C） ；（D） .
8．设常数 ，则级数 是……………………………（A）.
（A）条件收敛； （B）绝对收敛； （C）发散； （D）敛散性与 有关
9．设A、B都是 阶非零矩阵，且 ，则A和B的秩…………………………（D）.
（A）必有一个等于零；（B）都等于 ；（C）一个小于 ，一个等于 ；（D）都小于 .
10．设A是3阶可逆矩阵，且满足 ， （ 为A的伴随矩阵），则A的三个特征值是………………………………………………………………………（C）.
（A）3，3， ； （B） ， ，2； （C）3， ， ； （D） ，2，2.
二、（8分）设 在 的邻域具有二阶导数，且 ，试求 ， 及 .
[解]
由得
（或由泰勒公式得 ）
三、（8分）设 及 ，求 .
[解]
.
四、（8分）设函数 满足 与 ， ，求 ， ， （ 表示 对 的一阶偏导数，其他类推）.
[解]等式 两端对x求导,得
. 这两个等式,对x求导得
,
由已知条件得 ,故解得 ， .
五、（8分）设向量组 ， ，…， 是齐次线性方程组 的一个，向量 不是方程组 的解，即 ，试证明：向量组 ， ， ，…， .
[证]设有一组数 使得 ,即
两边左乘A,得 ,
,即 , 为 的
。故 。
六、（10分）已知三元二次型 经正交变换化为 ，又知 ，其中 ， 为A的，求此二次型的表达式.
[解]由条件知A的特征值为 ，则 ， 的特征值为 ， A*的特征值为 ，由已知 是A*关于 的特征向量，也就是 是A关于 的特征向量，设A
关于 的特征向量为 , 是实对称阵， 与X要正交， 解出 .令 ，则 ， 故
七、（8分）设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数 使曲面积分
与曲面S的形状无关.
[解]以L为边界任作两个光滑曲面 ，它们的法向量指向同一例， ，记 为 与 所围成的闭曲面，取外侧，所围立体为 ，则 ，由高斯公式得 ，由 的任意性得 , 即 解线性非齐次方程得 .
八、（10分）设一球面的方程为 ，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体 的体积.
[解]设点Q为 ，则球面的切平面方程为 垂线方程为 代入 及切平面方程得 ， ，即 （P点轨迹）.化为球坐标方程得 .
.
九、（10分）设函数 在 （ ）上连续，在 可导，且 .
（1）求证： ， ，等式 成立.
（2）求极限 .
[证]（1）令 , ,由中值定理得
， .
（2）由上式变形得 ，两边取极限， ， ， ， ， .
十、（10分）设函数 在（ ， ）连续，周期为1，且 ，函数 在[0，1]上有连续导数，设 ，求证：级数 收敛.
[证]由已知条件 ，令
则 为周期为1的函数，且 ，
因此
= ， 连续、周期，
有界， ，使 ，有 ，即 ，
又 在 连续， ，使 ，有 ，
故 ，由正项级数比较法知 收敛.
全国大学生数学竞赛国一大佬的经验之谈（准备篇）
参加完在哈工大举办的第十届全国大学生数学竞赛决赛(下面简称cmc)，拿到了国一的奖状，还是挺激动的(刚考完以为我已经与国一无缘了)。受驰神的邀请，写下了下面这篇文章。
1.写这篇文章的目的
我想通过这篇文章向一些喜爱数学，想要进决赛拿国一的同学们输送一点经验，或是让一些想报名却又不怎么了解的同学了解一些它的内容。
2.学习中该准备的材料
对我而言，我是大一上册刷了一本吉米多维奇高数版(一本小绿书)，大概大一上刷了半本，因为当时没有怎么提前预习，我觉得这本书对于打基础是很好的，即使你没有在cmc获奖，刷完这本书对于考研数学来说是大有好处的。
等到大一寒假，我入手了一本叫大学生数学竞赛陈兆斗的书(黄皮书)，(这本书适合于刷完小绿书后刷或者你觉得自己高数功底还可以)，然后自己又提前预习了高数下的内容，然后就是边看课本做课后题，边刷前面说的那两本。
等到寒假结束发现自己已经具有一定的非数功底了。到了大一下，我又买了一本蒲和平大学生数学竞赛(大绿书)，这本书内容很全，有些题目还是挺偏的，部分题目与小黄书有重合，刷这个可以增加自己的题库量并提升自己解题的一些思维。这本书是我在大一暑假刷完的。
等到准备决赛的大二寒假，我又重新把这本书看了一遍。除此之外，我还看了裴礼文作为补充(但基本上是直接看例题答案的)。
对于线代，我看的是北大丘维声版的高代，但我感觉如果只是为了写出考试中的线代，没必要完整的细致的过概念，不如直接的记住一些小结论，然后学会分块矩阵打洞(决赛的线代题基本都是分块矩阵打洞题)，我刷的是高等代数解题精粹(钱吉林)，感觉这本书对于非数的线代来说还是很全的(可以直接刷里面的线代部分)。
浩驰注：选用教材将按作者提出顺序穿插全文
本文是作者在每一个学习阶段的寒假准备实况，大家可以参考一下。尤其推荐数学竞赛+考研数学双线作战的学生参考。
一、大一学生
大一学生一般刚刚上完微积分上的课程，包括一元函数的微分学、中值定理、一元函数的积分学和微分方程，在寒假阶段就可以预习微积分下了。我在大一寒假就开始天天在慕课上看清华的微积分。首先是在看视频前预习一下课本，这个阶段一定要静下心来认真的看书上的推导和证明。还要善于对比，比如一般微积分下的第一章都是二元函数的极限，那么就要类比高数上的一元函数的极限，看看有什么不同点，又有什么相同点，二元函数的极限在什么时候可以等效为一元函数的极限，什么时候有不能等效为一元函数的极限，怎么去证明二元函数的极限是否存在呢，有什么方法能证明二元函数的极限不存在。看完书上的知识点后，可以去看慕课上面的视频了，我当时是看的学堂在线上面的清华微积分课程，看完一遍后就开始做课后习题，遇到不会的可以问别人或者看看有没有答案。大概是3天左右就可以看完二元函数的极限，然后3天就可以看完多元函数的微分，然后3天看完多元函数的极值（包括无约束的极值问题和有约束的极值问题）。然后就开始看多元函数的积分学了，首先是花3-4天左右看一下二重积分，注意和定积分对比（本质上是算两次定积分），花3-5天看一下三重积分（包括直角坐标、柱坐标和球坐标），然后再花一周左右时间看一下曲线、曲面积分（包括第一类和第二类），这样就看完了多元函数的积分学。最后看一下无穷级数、这一块要和高数上册的数列收敛判别法、麦克劳林级数以及微分方程联系起来。这里要说明的是，寒假是一段非常好的预习微积分时间，我在寒假期间就把微积分下全部看了一遍，这样在下学期上课时候我基本毫无压力就能够在课堂上跟老师的思路，并且有多余的时间来刷数学竞赛题目。
二、大二学生
大二学生一般刚上完微积分和线性代数，还保留着对微积分和线性代数的初步印象，可以在此基础上好好利用寒假时间准备参加全国大学生数学竞赛。一般学校会在3-6月份准备校内数学竞赛选拔工作，也就是校赛。这个比赛难度不是很大，考试的内容就是微积分。然后经过被选拔的学生可以免费报名参加每年十月底在全国范围内同时举办的“全国大学生数学竞赛”，也就是省赛。省赛的内容也是微积分。
因此，建议大二的学生在寒假就开始准备全国大学生数学竞赛，这样有两方面的好处。一方面，可以同时参加校内的大学生数学竞赛，另外一方面可以参加全国大学生数学竞赛。此外，如果想考研的学生还可以提前为考研数学打下基础，因为全国大学生数学竞赛的考纲就是考研数学大纲。
在刷题方面建议直接上陈兆斗老师的黄皮书（偏基础一些，适合校赛和省赛），有余力的同学可以上蒲和平老师的绿皮书(难度大一些，适合省赛和决赛）。我开始就是刷陈兆斗老师的黄皮书，一天刷题也不算多，大概6-8道题。这本书的好处在于它的解题步骤真的非常详细，蒲和平老师的绿皮书解答就没有那么详细了，我建议大二学生可以在寒假每天腾出2-3小时来刷题。
三、大三学生
大三学生过完寒假就是大三下了，大部分同学都会准备考研了。那么其实可以同时准备考研数学和全国大学生数学竞赛，因为全国大学生数学竞赛的考纲和考研数学的考纲几乎一模一样，并且最近几年的考研数学真题有很多都出自于对全国大学生数学竞赛试题的改编。
如果是大三学生想要考研的话，建议先对着考研数学视频过一遍同济大学的高数书。每天可以腾出2小时来看2-3节内容，然后花1小时做一下习题，有不懂的可以看一下视频。对于基础较好的同学，可以直接上汤家凤编写的1800题以及武忠祥严选题。
考研基础一定要打好，因此必须全方位的复习，啃透每一个知识点。能够检验你是否吃透书本内容的方法就是刷题，所以每复习完2-3节内容就要把后面的习题做完，每复习完一章内容就可以把1800题上面对应章节的习题做完。值得注意的是，1800这书分基础篇和强化篇，基础篇可以每天做一点，强化篇则可以等到一章的所有内容都过完一遍后再做。把1800上面的题做完之后就可以轻松在校赛中获得一等奖了，省赛也差不多二等奖保底，性价比还是很高的。
撩人心.
2022-11-062021年东南大学高等数学竞赛暨江苏省第十八届高等数学竞赛选拔赛试题